Métodos estadísticos para

Ciencias Sociales III

Kevin Carrasco

Sociología - UNAB

2do Sem 2026

https://metod3-unab.netlify.app/

Sesión 2

Repaso y descripción de datos

Estadística multivariada

Estimación de la recta de regresión

¿Dónde quedamos?

La investigación cuantitativa requiere operacionalizar conceptos para hacerlos medibles
Los datos se organizan en casos (filas) y variables (columnas), con distintas escalas de medición
La correlación resume la fuerza y dirección de una relación lineal, pero no permite predecir ni distinguir entre variable dependiente e independiente
La regresión describe esa relación mediante una función: \(Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + \epsilon_i\)

Hoy

Antes de explicar, necesitamos describir: medidas de tendencia central y de dispersión
¿Por qué la varianza es la pieza central del modelo de regresión?
¿Cómo se estiman concretamente \(b_0\) y \(b_1\)?

Antes de explicar: describir

Tipos de datos y escalas de medición

Datos categóricos:
- Pueden ser medidos sólo mediante escalas nominales, u ordinales en caso de orden de rango
Datos continuos:
- Medidos en escalas intervalares o de razón
- Pueden ser transformados a datos categóricos (ej: estatura en centímetros a categorías bajo, mediano y alto)

Descriptivos según tipo de variable

	Categórica	Continua	Categ.(y)/Categ.(x)	Cont.(y)/Categ.(x)
Ejemplo	Estatus ocupacional	Ingreso	Estatus ocupacional (Y) / Género (X)	Ingreso (Y) / Género (X)
Tabla	Frecuencias / porcentajes	\(\bar{X}\) / sd, o recodificar en categorías	Tabla de contingencia	Clasificar Y
Gráfico	Barras	Histograma / boxplot	Gráfico de barras condicionado	Histograma o boxplot condicionado

Tipos de análisis estadístico bivariado

Variable dependiente (y): lo que quiero explicar
Variable independiente (x): lo que me permite explicar la dependiente

Variable independiente (x)	Variable dependiente categórica	Variable dependiente continua
Categórica	Análisis de tabla de contingencia, Chi²	Análisis de varianza (ANOVA), prueba t
Continua	Regresión logística	Correlación / regresión lineal

Tendencia central

Moda: valor que ocurre más frecuentemente
Mediana: valor medio de la distribución ordenada. Si N es par, es el promedio de los dos valores medios
Media o promedio aritmético: suma de los valores dividida por el total de casos

\[\bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}\]

Dispersión: varianza

La media no basta

Dispersión: varianza

La media no basta

Dispersión: varianza

La media no basta

Dispersión: varianza

La varianza equivale al promedio de la suma de las diferencias respecto del promedio, elevadas al cuadrado

Desviación estándar

Raíz cuadrada de la varianza
Se expresa en las mismas unidades que los puntajes de la escala original

¿Por qué importa la varianza?

Sin variación no hay nada que explicar: si todas las personas tuvieran el mismo ingreso, no tendría sentido preguntarse qué lo determina
El modelo de regresión trabaja precisamente sobre la variación de la variable dependiente
Como veremos, el coeficiente de regresión se construye a partir de la varianza de \(X\) y de su covariación con \(Y\)

Más sobre datos, variables y varianza en:

Moore: 1. Comprensión de los datos (pp. 1-54)

Estadística multivariada

Hacia la explicación de los fenómenos sociales

Estadística multivariada

Hechos sociales: multicausales

Estadística multivariada

Intentando dar cuenta de la complejidad: modelos matemáticos

A partir de un modelo matemático denominado regresión, este curso busca entregar herramientas de análisis de datos que permitan aproximarse a la explicación de fenómenos sociales multicausales

Objetivos centrales del modelo de regresión

Conocer: la variación de la variable dependiente de acuerdo a la variación de otra(s) variable(s) independiente(s)
Predecir: estimar el valor de una variable (dependiente) de acuerdo al valor de otra(s)
Inferir: establecer en qué medida esta asociación es estadísticamente significativa

Objetivos centrales: un ejemplo

Conocer: ¿en qué medida el puntaje de la PAES influye en el éxito académico en la universidad?
Predecir: si una persona obtiene 600 puntos en la PAES, ¿qué promedio de notas es probable que obtenga en la universidad? (atención: predicción no implica explicación)
Inferir: ¿se puede generalizar a la población? ¿Con qué nivel de confianza?

Terminología de variables

Repaso: la función lineal

La recta como función

\[Y = a + bX\]

Una función asigna a cada valor de \(X\) un único valor de \(Y\)
\(a\): valor de \(Y\) cuando \(X = 0\) (intercepto u ordenada en el origen)
\(b\): cuánto cambia \(Y\) cuando \(X\) aumenta en una unidad (pendiente)
En regresión escribimos \(\widehat{Y} = b_0 + b_1X\), pero la lógica es exactamente la misma

El intercepto desplaza la recta

Figure 1

La pendiente inclina la recta

Figure 2

De las medias condicionales a la recta

Un ejemplo

¿En qué medida la experiencia previa jugando un juego predice el número de puntos obtenidos en un juego posterior?

Los datos

\(X\): número de juegos previos
\(Y\): puntos obtenidos
23 casos

Ver los datos

datos <- data.frame(
  juegos_x = c(rep(1, 8), rep(2, 2), rep(3, 3), rep(4, 2), rep(5, 8)),
  puntos_y = c(2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4,
               3, 4,
               3, 4, 5,
               4, 5,
               4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6)
)

Descriptivos

descriptivos <- data.frame(
  Variable = c("Juegos previos (X)", "Puntos obtenidos (Y)"),
  N = c(nrow(datos), nrow(datos)),
  Media = c(mean(datos$juegos_x), mean(datos$puntos_y)),
  DE = c(sd(datos$juegos_x), sd(datos$puntos_y)),
  Min = c(min(datos$juegos_x), min(datos$puntos_y)),
  Max = c(max(datos$juegos_x), max(datos$puntos_y))
)

Variable	N	Media	DE	Min	Max
Juegos previos (X)	23	3	1.76	1	5
Puntos obtenidos (Y)	23	4	1.13	2	6

Medias condicionales

Para los casos con \(X = 1\) hay tres valores distintos de \(Y\): 2, 3 y 4. La media condicional de \(Y\) dado \(X = 1\) es 3

La idea de distribución condicional

La recta de regresión

La (co)variación general de \(Y\) respecto de \(X\) se puede expresar en una ecuación de la recta = modelo de regresión

Para obtener la “mejor recta” se utiliza la estimación de mínimos cuadrados (OLS, Ordinary Least Squares)

OLS minimiza la suma de los residuos al cuadrado, es decir, las distancias entre las observaciones y la recta en el eje vertical

Estimación de los coeficientes

Componentes de la ecuación

\[\widehat{Y} = b_{0} + b_{1}X\]

Donde:

\(\widehat{Y}\) es el valor estimado de \(Y\)
\(b_{0}\) es el intercepto de la recta (el valor de \(Y\) cuando \(X\) es 0)
\(b_{1}\) es el coeficiente de regresión, que indica cuánto aumenta \(Y\) por cada unidad que aumenta \(X\)

Estimación de \(b_1\)

\[b_{1}=\frac{Cov(XY)}{Var(X)}\]

\[b_{1}=\frac{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {n-1}}{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(x_i - \bar{x})} {n-1}}\]

Y simplificando:

\[b_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\]

Estimación de \(b_0\)

Una vez estimada la pendiente, se despeja el intercepto:

\[b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\bar{X}\]

Esto implica que la recta de regresión siempre pasa por el punto \((\bar{X}, \bar{Y})\)

Cálculo paso a paso

La base de todos estos cálculos es la diferencia de cada valor respecto de su promedio:

\[difx = x-\bar{x} \qquad dify = y-\bar{y}\]

Con ellas construimos los productos cruzados y las diferencias al cuadrado:

\[difcru = (x-\bar{x})(y-\bar{y}) \qquad difx2 = (x-\bar{x})^2\]

Cálculo paso a paso en R

datos$p_x <- mean(datos$juegos_x)
datos$difx <- datos$juegos_x - datos$p_x
datos$p_y <- mean(datos$puntos_y)
datos$dify <- datos$puntos_y - datos$p_y
datos$dif_cru <- datos$difx * datos$dify
datos$difx2 <- datos$difx^2

Cálculo paso a paso

juegos_x	puntos_y	difx	dify	dif_cru	difx2
1	2	-2	-2	4	4
1	2	-2	-2	4	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	4	-2	0	0	4
1	4	-2	0	0	4
2	3	-1	-1	1	1
2	4	-1	0	0	1

Primeros 10 casos de 23

Las sumas que necesitamos

sum(datos$dif_cru)
#> [1] 34
sum(datos$difx2)
#> [1] 68

Reemplazando en la fórmula

\[b_{1}=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})} {\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}=\frac{34}{68}=0.5\]

Y con la pendiente ya estimada:

\[b_{0}=\bar{Y}-b_{1}\bar{X} = 4-(0.5 \times 3)=2.5\]

La ecuación completa

\[\widehat{Y}=2.5+0.5X\]

Intercepto: una persona sin juegos previos obtiene, en promedio, 2,5 puntos
Pendiente: por cada juego previo adicional, los puntos obtenidos aumentan en 0,5

Predicción

\[\widehat{Y}=2.5+0.5X\]

La ecuación permite estimar el valor de \(Y\) (o su media condicional) para un valor dado de \(X\). Por ejemplo, ¿cuál es el valor estimado de \(Y\) dado \(X=3\)?

\[\widehat{Y}=2.5+(0.5 \times 3)=4\]

El valor estimado de puntos para una persona que ha jugado 3 veces es 4

Comprobación en R

modelo <- lm(puntos_y ~ juegos_x, data = datos)
coef(modelo)
#> (Intercept)    juegos_x 
#>         2.5         0.5

Los mismos valores que calculamos a mano

El resultado

Figure 4

En resumen: ¿qué gano con el modelo de regresión?

Al igual que con la correlación:

Intensidad de la relación entre variables
Dirección de la relación

Y además:

Predicción del puntaje real de la variable dependiente
Estimación del ajuste o cantidad de error en la estimación (próxima clase)
Posibilidad de incluir más de una variable predictora (en dos clases más)

Para la próxima sesión

Wooldridge, Introducción a la econometría: apéndices A1 y A2, y sección 2.1
Moore, Estadística aplicada básica: sección 2.4.1

juegos_x	puntos_y	difx	dify	dif_cru	difx2
1	2	-2	-2	4	4
1	2	-2	-2	4	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	4	-2	0	0	4
1	4	-2	0	0	4
2	3	-1	-1	1	1
2	4	-1	0	0	1

juegos_x	puntos_y	difx	dify	dif_cru	difx2
1	2	-2	-2	4	4
1	2	-2	-2	4	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	4	-2	0	0	4
1	4	-2	0	0	4
2	3	-1	-1	1	1
2	4	-1	0	0	1

juegos_x	puntos_y	difx	dify	dif_cru	difx2
1	2	-2	-2	4	4
1	2	-2	-2	4	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	3	-2	-1	2	4
1	4	-2	0	0	4
1	4	-2	0	0	4
2	3	-1	-1	1	1
2	4	-1	0	0	1